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角の二等分線の線分の長さの求め方

数学

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図１のような角の二等分線の長さが

$x=\sqrt{ab-cd}$

で表せることを２通りの方法で証明します。

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①相似の利用

図２のように、△ABCの外接円を描き、ADの延長と外接円との交点を点Eとし、DE＝ｙと置く。

△ABE∽△ADCなので

$a:\left( x+y\right) =x:b$
$x^{2}+xy=ab$
$x^{2}=ab-xy$
$x=\sqrt{ab-xy}$ ・・・①

方べきの定理より

$xy=cd$ ・・・②

①②より

$x=\sqrt{ab-cd}$

②余弦定理の利用

△BADで余弦定理より

$\angle BAD=\dfrac{a^{2}+x^{2}-c^{2}}{2ax}$ ・・・①

△CADで余弦定理より

$\angle CAD=\dfrac{b^{2}+x^{2}-d^{2}}{2bx}$ ・・・

∠BAD＝∠CADより

$\dfrac{a^{2}+x^{2}-c^{2}}{2ax}=\dfrac{b^{2}+x^{2}-d^{2}}{2bx}$

両辺に2abxをかけると

$a^{2}b+bx^{2}-bc^{2}=ab^{2}+ax^{2}-bc^{2}$

$\left( a-b\right) x^{2}=a^{2}b-ab^{2}+ad^{2}-bc^{2}$ ・・・①

角の二等分線の定理より

$a:b=c:d$

$ad=bc$ ・・・②

①②より

$\left( a-b\right) x^{2}=ab\left( a-b\right) -bcd+adc$

$\left( a-b\right) x^{2}=ab\left( a-b\right) -cd\left( a-b\right)$

$x^{2}=ab -cd$

$x=\sqrt{ab-cd}$

方べきの定理が使えないようなら、もう一段階相似の証明をする必要がありますが、①の方法なら中学生でも証明可能ですね。