15°の直角三角形の線分比

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図１のように、15°の直角三角形の線分比は
$\left( \sqrt{6}-\sqrt{2}\right) :\left( \sqrt{6}+\sqrt{2}\right) :4$ になります。これを証明するために、図２のように、まずはAC=１として考え始めます。

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①60°の直角三角形ADCができるようになるように補助線を引く

△ABD二等辺三角形になるので、 $BC=2+\sqrt{3}$

f:id:manabilife:20210725210752p:plain ②BCに対称な三角形ができるように点A’をとる

③図３のように、∠CAE＝45°、∠CA’E＝45°になるように補助線を引く

図のように、それぞれの延長線とA’B、ABとの交点をF、Gとする。∠AEA'は直角二等辺三角形になり、△ABFは底角が30°の二等辺三角形になる。

△A'EFに注目すると、

$EF=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$

$A'F=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$

$BF=\dfrac{\sqrt{6}}{3}+\sqrt{2}$

よって、 $AB＝A'B＝\sqrt{6}+\sqrt{2}$

④すべての辺に $\left( \sqrt{6}-\sqrt{2}\right)$ をかける

これで、図１の比を導くことができます。

中学生の知識でも十分導くことができますね。

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