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チェバの定理の証明

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チェバの定理もメネラウスの定理同様、証明を確認せずに使っている中学生が多いようです。面積比を使って簡単に証明できるのでしっかり確認しておきたいですね。

 

下図で、チェバの定理を使うと、

\dfrac{DB}{AD}\times \dfrac{EC}{BE}\times \dfrac{FA}{CF}=1

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メネラウス同様、交点(赤丸)、分点(青丸)の順に追いかけるとチェバの定理の式になりましたね。証明では、三角形の面積比を利用します。

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△AGC:△BGC=AD:DB

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△AGC:△AGB=EC:BEなので、

△AGC:△AGB=AD:AD\times \dfrac{BE}{EC}

よって、

CF:FA=△BGC:△AGB=DB:AD\times \dfrac{BE}{EC}

CF=DB

FA=AD\times \dfrac{BE}{EC}をチェバの定理の左辺に代入すると、

 \dfrac{DB}{AD}\times \dfrac{EC}{BE}\times \dfrac{FA}{CF}

=\dfrac{DB}{AD}\times \dfrac{EC}{BE}\times \dfrac{AD\times \dfrac{BE}{EC}}{DB}

=\dfrac{DB}{AD}\times \dfrac{EC}{BE}\times \dfrac{AD\times BE}{EC\times DB}

すべて約分できるので1になりますね。